Особенности современного аксиоматического подхода

После этого открытия Гильберта естественно было надеяться, что метод формализации позволит строить все содержание математической теории на такой точной, и, казалось бы, надежной основе, как понятие выводимой формулы (теоремы формальной системы), а принципиальные вопросы типа проблемы непротиворечивости математической теории решать в форме доказательств соответствующих утверждений.

Однако исследование К. Геделя в начале 30-х гг. 20 в. привели к краху основных надежд. Гедель показал следующее:

всякая естественная непротиворечивая формализация S арифметики или любой другой математической теории, содержащей арифметику, не полна и непополнима;

если формализованная арифметика в действительности не противоречива, то, хотя утверждение о ее непротиворечивости выразимо на ее собственном языке, доказательство этого утверждения провести невозможно средствами, формализуемыми в ней самой.

Это означает, что уже для арифметики принципиально не возможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом выводимых формул, какой – бы то ни было формальной системы и что нет никакой надежды получить доказательство непротиворечивости арифметики.

Другое о образовании:

Теоретические аспекты формирования игровой компетентности будущего учителя
Результатом эффективной подготовки выпускника педагогического вуза к использованию игровых технологий в будущей практической профессионально-педагогической деятельности должна стать его игровая компетентность. Понятие игровая компетентность является видовым относительно понятия профессионально-педа ...

Особенности усвоения этических представлений детьми дошкольного возраста
Этика − (греч. ethika, от ethos — обычай, нрав, характер) философская дисциплина, изучающая мораль, нравственность. Как обозначение особой области исследования термин впервые употребляется Аристотелем. Если этику рассматривать как предмет воспитания, то его основная задача – включение ребёнка ...

Наблюдения на экскурсиях
Экскурсия — один из видов занятий по ознакомлению детей с природой. Во время экскурсии ребенок может в естественной обстановке наблюдать явления природы, сезонные изменения, увидеть, как люди преобразуют природу в соответствии с требованиями жизни и как природа служит им. Преимущества экскурсий-зан ...