Особенности современного аксиоматического подхода

После этого открытия Гильберта естественно было надеяться, что метод формализации позволит строить все содержание математической теории на такой точной, и, казалось бы, надежной основе, как понятие выводимой формулы (теоремы формальной системы), а принципиальные вопросы типа проблемы непротиворечивости математической теории решать в форме доказательств соответствующих утверждений.

Однако исследование К. Геделя в начале 30-х гг. 20 в. привели к краху основных надежд. Гедель показал следующее:

всякая естественная непротиворечивая формализация S арифметики или любой другой математической теории, содержащей арифметику, не полна и непополнима;

если формализованная арифметика в действительности не противоречива, то, хотя утверждение о ее непротиворечивости выразимо на ее собственном языке, доказательство этого утверждения провести невозможно средствами, формализуемыми в ней самой.

Это означает, что уже для арифметики принципиально не возможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом выводимых формул, какой – бы то ни было формальной системы и что нет никакой надежды получить доказательство непротиворечивости арифметики.

Другое о образовании:

Этапы работы над малой формой в старших классах ДМШ
На первом этапе основной задачей является создание общего представления о произведении и эмоциональное восприятие его в целом. Содержание работы - знакомство с материалами о произведении и знакомство с самим произведением. Прежде всего, педагог должен рассказать учащемуся о создателе произведения, ...

Экспериментальное исследование уровня экологических знаний и эмоционального отношения к природе детей старшего дошкольного возраста
Выполняя констатирующий эксперимент, мы ставили перед собой цель – выявить уровень сформированности экологических знаний эмоционального отношения к природе детей 5-6 лет. Исходя из цели исследования определены следующие задачи: 1. Выявить уровень знаний о неживой природе 2. Выявить уровень знаний о ...

Функции контрольно-аттестационного комплекта в образовательном процессе
Контроль знаний учащихся является составной частью процесса обучения. По определению контроль это соотношение достигнутых результатов с запланированными целями обучения. Некоторые учителя традиционно подходят к организации контроля, используют его в основном ради показателей достигнутого. Проверка ...