Особенности современного аксиоматического подхода

После этого открытия Гильберта естественно было надеяться, что метод формализации позволит строить все содержание математической теории на такой точной, и, казалось бы, надежной основе, как понятие выводимой формулы (теоремы формальной системы), а принципиальные вопросы типа проблемы непротиворечивости математической теории решать в форме доказательств соответствующих утверждений.

Однако исследование К. Геделя в начале 30-х гг. 20 в. привели к краху основных надежд. Гедель показал следующее:

всякая естественная непротиворечивая формализация S арифметики или любой другой математической теории, содержащей арифметику, не полна и непополнима;

если формализованная арифметика в действительности не противоречива, то, хотя утверждение о ее непротиворечивости выразимо на ее собственном языке, доказательство этого утверждения провести невозможно средствами, формализуемыми в ней самой.

Это означает, что уже для арифметики принципиально не возможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом выводимых формул, какой – бы то ни было формальной системы и что нет никакой надежды получить доказательство непротиворечивости арифметики.

Другое о образовании:

Психолого - педагогическая характеристика детей с ОНР
Впервые теоретическое обоснование проблемы общего недоразвития речи было сформировано в результате многоаспектных исследований различных форм речевой патологии у детей школьного и дошкольного возрастов, проведенных Левиной Розой Евгеньвной и коллективом научных сотрудников НИИ дефектологии, ныне НИ ...

Система быстрого счёта по Я. Трахтенбергу
Профессор Цюрихского математического института Яков Трахтенберг в конце 40-х годов он организовал в Цюрихе свой Математический институт – единственное в своём роде учебное заведение, где дети и взрослые учились и переучивались считать по его методу, достигая поразительных успехов. С помощью своего ...

Технологический проект урока-мастерской
Проект урока - это представленный учителем план проведения урока с возможной корректировкой (заложенной изначально вариативностью урока). Мастерская - педагогическая технология XXI века, разработанная педагогами "Французской группы нового образования" - GFEN. Это форма организации многоме ...