Особенности современного аксиоматического подхода

В настоящее время аксиоматический подход понимается как «способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами теории, а все остальные предложения получаются как логические следствия аксиом».

Аксиоматический метод зародился в работах древнегреческих геометров. Блестящим образцом применения аксиоматического метода вплоть до 19 в. была геометрическая система известная под названием «Начала» Евклида (ок. 300 до н.э.). Во времена Евклида не вставал еще вопрос об описании логических средств, применяемых для извлечения содержательных следствий из аксиом, в системе Евклида уже достаточно четко проведена идея получения всего основного содержания геометрической теории только дедуктивным путем из некоторого относительно небольшого числа утверждений — аксиом, истинность которых представлялась наглядно очевидной [21].

В работах Евклида пятая аксиома о параллельности прямых была сформулирована как теорема: предположим, что есть прямая и точка , не лежащая на этой прямой. Опустим перпендикуляр из точки А на прямую . Всякая прямая пересекающая этот перпендикуляр в точке под не прямым углом , пересекает прямую . Имея такую аксиому Евклид доказывает теорему, что если , то две прямые параллельны. Так как угол равный 90 единственный, то и прямая параллельная данной - одна.

После доказательства эквивалентности пятой аксиомы и теоремы о параллельности двух прямых, стали пользоваться формулировкой теоремы как аксиомой. Но, даже в такой формулировке математики не верили в незыблемость пятой аксиомы. Показав, что следствия, полученные из отрицания пятой аксиомы и всех теорем, выводимых на ее основе, не противоречивы, Лобачевский тем самым показал независимость пятой аксиомы.

Открытие в нач. 19 в. неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским и Я. Больяи явилось толчком к дальнейшему развитию аксиоматического метода. Они установили, что, заменив привычный, и, казалось бы, единственный «объективно истинный» V постулат Евклида о параллельных прямых, его отрицанием, можно развить чисто логическим путем геометрическую теорию, столь же стройную и богатую содержанием, как и геометрия Евклида. Этот факт заставил математиков 19 в. обратить особое внимание на дедуктивный способ построения математических теорий, что повлекло за собой возникновение связанной с самим понятием аксиоматического метода и формальной (аксиоматической) математической теории новой проблематики, на основе которой выросла теория доказательств как основной раздел современной математической логики.

Понимание необходимости обоснования математики и конкретные задачи в этой области зародились в более менее отчетливой форме уже в 19 веке. Уточнение основных понятий анализа и сведение более сложных (хотя и более очевидных интуитивно) понятий к простейшим логическим схемам, а также открытие неевклидовых геометрий, стимулировало оформление требований к любой системе аксиом.

Другое о образовании:

Понятие о словосочетании и предложении
Основными единицами синтаксиса являются словосочетание и предложение. В данной работе мы будем придерживаться определения, которое даётся в учебнике Д.Э. Розенталя «Современный русский язык» : «Словосочетание – это соединение двух или более знаменательных слов, связанных по смыслу и грамматически, ...

Сущность воспитания по «Пиру», «Федру», «Государству» и «Законам»
Платон придавал большое значение воспитанию и обучению. Два этих компонента лежат в основе большинства его учений, они являются неотъемлемой частью мироздания, по мнению самого философа. В своей книге «Государство» Платон пишет: «Начало — самое важное во всяком деле, в особенности для всего молодог ...

Опытная проверка разработанного комплекса упражнений
Эффективность разработанного комплекса упражнений проверялась в ходе пробного обучения в 9’ «В» классе ОСШ № 16 г. Барановичи в количестве 7 человек. При этом нами была сформулирована следующая гипотеза: обучение учащихся ознакомительному чтению иноязычных текстов электронных периодических изданий ...