Аксиоматика евклидовой геометрии

Современная система аксиом Евклидовой геометрии состоит из пяти групп и опирается на шесть основных неопределяемых понятия: точки, прямые и плоскости и трех видов отношений выражаемых словами «принадлежит», «между» и «движение».

Введем аксиомы, предложенные в математической энциклопедии.

принадлежности: 1.через каждые две точки можно провести прямую и при том только одну. 12. На каждой прямой лежат по крайне мере две точки. Существует хотя бы три точки не лежащие на одной прямой. 13. через каждые три точки не лежащие на одной прямой можно провести плоскость и при том только одну. 14. На каждой плоскости существует по крайне мере три точки и существует хотя бы четыре точки, не лежащие на одной плоскости. 15. Если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, то и сама прямая лежит на этой плоскости. 16. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют еще одну общую точку (и, следовательно, общую прямую).

Аксиомы порядка. 21. Если точка B лежит между A и C, то все точки лежат на одной прямой. 22. Для каждых точек A, B существует такая точка C, что B лежит между A и C. 32. Из трех точек прямой только одна лежит между двумя другими. 42. Если прямая l пересекает одну сторону треугольника, то она пересекает еще другую его сторону или проходит через вершину.

Аксиомы движения. 31 Движение ставит в соответствие точкам точки, прямым прямые, плоскостям плоскости, сохраняя принадлежность точек прямым и плоскостям. 32. Два последовательных движения дают опять движение, и для всякого движения есть обратное. 33. Если даны точки A, B и полуплоскости , , ограниченные продолженными полупрямыми a, b, которые исходят из точек A, B, то существует движение, и при том единственное, переводящее A, a, в B, b, .

группа содержит 2 аксиомы непрерывности 41 Аксиома Архимеда. Всякий отрезок AB можно перекрыть меньшим отрезком откладывая его на AB достаточное количество раз; откладывание отрезка осуществляется движением. 42 Аксиома Кантора. Если дана бесконечная последовательность вложенных отрезков AnBn, то существует, и при том единственная, точка c принадлежащая всем отрезкам AnBn.

группа содержит одну аксиому параллельности. Через данную точку вне данной прямой можно провести на плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную, т.е. не более одной прямой параллельной данной ( в современная формулировка Ламперта).

С помощью основных понятий евклидовой геометрии определяются все другие ее понятия, Все предложения о свойствах геометрических фигур, не содержащиеся в аксиомах, должны быть выводимы только логически из этих аксиом. Система аксиом евклидовой геометрии обладает свойством полноты и непротиворечивости. Если в аксиоматике евклидовой геометрии заменить аксиому о параллельных на ее отрицание, то полученная новая система аксиом (система аксиом геометрии Лобачевского) тоже будет не противоречива. Получается, что аксиома о параллельных не зависит от остальных аксиом евклидовой геометрии.

В «Началах» Евклида содержится описание основных объектов как абстракций от реальных предметов окружающего мира. Однако объекты, удовлетворяющие системе аксиом евклидовой геометрии, допускают бесчисленное множество интерпретаций.

Другое о образовании:

Особенности профессионального самоопределения подростков
Потребность в знании закономерностей личностного и профессионального онтогенеза все чаще осознается обществом при решении многих вопросов в самых разных сферах жизни и деятельности. Проблема поиска жизненного пути не может не волновать как отдельную личность, так и общество в целом. Конфликты, возн ...

Влияние игры на развитие предпосылок учебной деятельности у старших дошкольников
Игра представляет собой особую деятельность, которая расцветает в детские годы и сопровождает человека на протяжении всей его жизни. В недрах игры зарождаются и дифференцируются (выделяются) другие виды деятельности (труд, учение). По мере развития игры ребёнок овладевает компонентами, присущими лю ...

Педагогическая организация восприятия искусства школьниками
Взаимодействие ребенка и любого вида искусства прежде всего начинается с восприятия. Произведение искусства достигает своей воспитательной, образовательной цели, когда оно непосредственно воспринято школьником, когда освоена его идейно-художественная сущность. Очень важно уделять особое внимание им ...