Вынужденные колебания

Рассмотрим синусоидальную периодическую силу с некоторой определённой частотой. Если эта сила приложена к механической системе, то система будет колебаться по синусоидальному закону с той же частотой. Совпадение частоты изменения силы с частотой колебательного процесса характерно для вынужденных колебаний. Вынужденные колебания могут возникать в самых разных условиях. Существенной особенностью возбуждающей колебания силы является то, что модуль её остаётся неизменным вне зависимости от того, вибрирует или нет тело, к которому эта сила приложена. Если частота возбуждающей силы сравнима с собственной частотой системы, то следует ожидать интенсивных колебаний, называемых резонансом.

Явление резонанса может оказывать как положительное, так и отрицательное воздействие. Например, при создании музыкальных инструментов, для усиления их звучания, используют резонаторы, в качестве которых выступает корпус музыкальных инструментов. Кроме этого при помощи резонанса можно, не прилагая особых усилий, привести в движение достаточно массивное тело. С другой стороны, в случае, когда амплитуда колебаний превышает силы упругости колеблющегося тела, резонанс оказывает отрицательное воздействие. В промышленности, для гашения нежелательных резонирующих колебаний, существует два различных метода: первый метод состоит в «отстройке» системы путём такого изменения собственных частот, чтобы они не совпадали с частотами возбуждения или наоборот изменять частоту возбуждающей силы; второй метод заключается в специальном увеличении демпфирования системы. Первый метод наиболее эффективен, но его не всегда можно осуществить. При большом демпфировании интенсивные колебания мало вероятны и поэтому на практике расчёт существующих резонансных частот не отличается от расчёта собственных частот систем без сил трения. В тех случаях, где отстройка системы невозможно применяются демпферы.

Если внешние силы действуют на систему с одной степенью свободы, обобщённая координата которой есть q, то работу, произведённую ими при бесконечно малом изменении конфигурации пропорционально q, можно обозначить через Qdq. Q – обобщённая сила, действующая на систему относительно обобщённой координаты q. Например: если q –угловая координата тела, которое может вращаться вокруг своей оси, то Q –момент внешних сил относительно этой оси. Отсюда следует, что при любом реальном движении системы, мощность внешних сил равна Qq'. Уравнение энергии принимает теперь следующую форму:

d/dt(T+f)=Qq' (4.1)

или

aq"+ ½ (da/dq)q'²+df/dq=Q (4.1')

Рассматривая малые колебания около положения равновесия, можно как и прежде пренебречь членами второго порядка. Подставив получим:

aq"+cq=Q (4.2)

Если Q –гармоническая сила, например сила пропорциональная cos((t), то вынужденные колебания выражаются функцией

q=Q/(c-w²a) (4.3)

Когда w очень мало q=Q/c. Это значение можно назвать статистическим или «равновесным» значением смещения; это – статистическое смещение, которое было бы создано постоянной силой, равной мгновенному значению Q. Другими словами, это то смещение, которое сила создавала бы в системе, лишённой инерции (a=0).[11]

Если на систему действуют две или более гармонических вынуждающих сил, результирующее вынужденное колебание получится путём простого сложения. Так например, вынужденная сила

Q=А 1cos(w1t+j1)+А2cos(w2t+j2)+… (4.4)

Вызовет вынужденные колебание

q=(А1/(w2 – j12)) cos(w1t+j1)+(А2/(w2 – j22)) cos(w2t+j2)+… (4.5)

Заметим, что из-за различия знаменателей, амплитуды отдельных членов этого выражения не пропорциональны амплитудам соответствующих членов в выражении для Q.

Другое о образовании:

Педагогические воззрения Сократа и его значение в истории педагогики
Сократ (около 469 год до н. э. – 399 г. до н. э.) - древнегреческий философ, родился в Афинах. Сократ является первым ученым-философом, перешедшим от рассмотрения природы и мира к рассмотрению человека, его души и всех составляющих. Как известно, Сократ излагал свои мысли устно, в форме дискуссий, ...

Общие сведения о типах предложений
В зависимости от положенного в основу классификации признаков различаются предложения: 1)Простые (состоящие из одной единицы) и сложные ( состоящие из двух или более предикативных единиц); 2) утвердительные и отрицательные – по характеру выражаемого в них отношения к действительности; 3)повествоват ...

Типовое положение о дошкольном образовательном учреждении
I. Общие положения 1. Настоящее Типовое положение регулирует деятельность государственных и муниципальных дошкольных образовательных учреждений всех видов. 2. Для негосударственных дошкольных образовательных учреждений настоящее Типовое положение является примерным. 3. Дошкольное образовательное уч ...