Система быстрого счёта по Я. Трахтенбергу

Общие приемы

Краткие сведения

Общие приёмы устного счёта могут быть применимы к любым числам. Они основываются на свойствах десятичного числа и применении законов и свойств арифметических действий.

Прием №1

Прием, основанный на знании законов и свойств арифметических действий

При сложении двух и более чисел часто используется такой прием, включающий три этапа:

1) Разложение каждого слагаемого на разряды – единицы, десятки, сотни, тысячи, сотни тысяч и т.д.

2) Использование сочетательного и переместительного свойств.

3) Выполнить сложение каждой из получившихся групп.

Пример:

Требуется сложить 28, 47, 32 и 13.

1) пользуясь десятичным составом числа, разложим каждое слагаемое на разряды – десятки и единицы.

28=20+8 32=30+2

47=40+7 13=10+3

2) воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами:

20+30+8+2+40+10+7+3 – (переместительный закон)

(20+30)+(8+2)+(40+10)+(7+3) – (сочетательный закон)

3) выполняем сложение каждой группы

50+10+50+10

4) 50+50+10+10 (переместительный закон)

5) 100+10+10=120 выполняем сложение

Специальные методы

Краткие сведения

Приёмы, которые применимы только к некоторым числам и некоторым действиям.

Приём №1.

Приём округления

Очень эффективный и часто употребляемый приём устного счёта. Этот приём можно использовать во всех четырёх арифметических действиях.

Прием заключается в следующем:

1) К одному из слагаемых (уменьшаемому, вычитаемому, множителю, делимому, делителю) добавляем столько единиц, сколько не хватает до нужного нам «круглого» числа.

2) Затем из результата вычитаем столько же единиц, сколько прибавляли.

Примеры:

1) 399+473=400+473=873–1=872 (399 округляем до 400, т.е. прибавляем 1, а затем из результата вычитаем 1)

399+473=(399+1)+(473–1)=400+472=872

2) 56–38=(56+4–38) – 4=(60–38) – 4=22–4=18 (если уменьшаемое увеличить на несколько единиц, то остаток или разность необходимо увеличить на соответствующее количество единиц)

3) 72–15=((72–2) – 15)+2=(70–15)+2=57 (если уменьшаемое уменьшить на несколько единиц, то остаток или разность уменьшается на соответствующее количество единиц. Следовательно, это количество необходимо прибавить)

4) 752–298=(752 – (298+2))+2=(752–300)+2=452+2=454 (если вычитаемое увеличить на несколько единиц, то остаток или разность уменьшаются на соответствующее количество единиц. Чтобы этого не произошло к полученному результату необходимо прибавить вычтенное число.)

93–22=(93 – (22–2)) – 2=(93–20) – 2=73–2=71

Приём №2

Приём перестановки слагаемых или перестановки сомножителей

Суть приёма заключается в перемене мест слагаемых для того, чтобы сначала сложить те числа, которые в сумме дают «круглое» число или просто более легко складываются.

Примеры:

1) 389+567+111=389+111+567=500+567=1067 (переместительные свойства суммы)

2) 2357+1998+3055=2357+1997+(3010+45)=2357+1998+3010+43+2=2357+43+1998+2+3010=2400+2000+3010=7410 (первое и второе слагаемые дополняются за счёт третьего)

Приём №3

Приём замены одного действия другим

Замена вычитания сложением: вычитаемое сначала дополняется единицами до «круглого» числа, а затем полученное «круглое» число дополняют уже до уменьшаемого, т.е. основное действие вычитания заменилось на «двойное» сложение.

Примеры:

1) 600–289 дополняем 289 до 300: это 11 и ещё 300 до 600. Итого: 311

Вместо того, чтобы вычислять 600–289=311, мы вычисляем 289+11+300=600, при этом без записи, произнося про себя 11, 300, итого 311

2) 730–644 вычитаемое 644 дополняем до 650 (6), затем до 700 (50) и до 730 (30): 6+50+30=86

Приём №4

Приём умножения на 5,50,500

1. Множитель, который умножаем на 5,50,500, представить в виде суммы, а затем, используя сочетательное свойство умножения, выполнить действие уже в более упрощенном варианте.

Пример:

Но есть более простой способ! Если один из множителей увеличить в два раза, то и произведение увеличится в 2 раза, следовательно, для получения истинного результата надо полученное произведение уменьшить в два раза.

Пример:

1)

2)

(первый множитель делим пополам, т.е. на два, а второй множитель увеличиваем в 2 раза)

Умножение чисел на 50 и 500 начинается также, как и умножение на 5, с деления множимого на 2 и заканчивается умножением полученного результата на 100 или 1000, что равносильно приписыванию двух или трёх нулей справа.

Пример:

Приём №5

Приём умножения на 25, 250, 2500

При умножении числа на 25, сначала мы умножаем на 100, а полученный результат делим на 4, чтобы получить истинную величину произведения. Можно наоборот сначала разделить на 4, а потом умножить на 100.

Пример:

Аналогично выполняется умножение на 250 и на 2500.

Приём №6

Прием умножения на 125

Для использования этого приёма надо помнить, что 125 это 1/8 часть 1000, т.е. в тысяче 125 содержится 8 раз, т.е. сначала мы умножаем на 1000, а полученный результат делим на 8, чтобы получить истинную величину произведения. Можно наоборот сначала разделить на 8, а потом умножить на 1000.

Примеры:

1)

Приём №7

Приём умножения на 15

Пятнадцать состоит из одного десятка и 5 единиц, но 5 это половина 10, следовательно, мы должны число умножить на 10 и взять ещё половину полученного от умножения этого числа на десять.

Пример:

Особенно эффективен этот приём умножения на 15 чётных чисел, где действия можно выполнить так:

А с нечётными так:

Приём №8

Приём умножения на 9 и 99

Множители 9 и 99 на единицу меньше круглых чисел 10 и 100. Поэтому умножение числа 9 мы можем выполнить так:

умножаем число на 10 и вычитаем из полученного это же число, умноженное на единицу (т.е. берем число не 9, а десять раз и уменьшаем после на это же число)

Умножение числа на 99 производится аналогично.

Примеры:

1) 25•9=25•10–25•1=250–25=225

2) 35•99=35•100–35•1=3500–35=3465

Приём №9

Приём умножения на 11

Этот приём аналогичен умножению на 9, только здесь мы будем числа сначала умножать на 10, а после прибавлять ещё один, одиннадцатый, раз

это же число.

Примеры:

1) 87•11=87•10+87•1=870+87=957

2) 232•11=232•10+232•1=2320+232=2552

Это общий приём умножения на 11.

Умножение на 11 двухзначного числа осуществляется очень простым способом:

достаточно между цифрами, стоящими в разряде десятков и в разряде единиц, вставить их сумму. Если сумма

выражается двухзначным числом, то десятки плюсуются с первым числом (пример 2).

Примеры:

1) 54х11=594, (5+4=9)

2) 78х11=858 (7+8=15, 7+1=8).

Этот приём основан на умножении столбиком на 11:

78•11=858