Реализация аксиоматического подхода у А.В. Погорелова

Предлагается разобрать эти понятия на примере теоремы: «если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон» . Только после доказательства теоремы автор говорит, что «утверждения, содержащиеся в формулировках основных свойств простейших фигур, не доказываются и называются аксиомами. Слово «аксиома» происходит от греческого слова аксиом и означает утверждение не вызывающее сомнений».

В следующем абзаце вводятся «правила» аксиоматического метода. А. В. Погорелов пишет «при доказательстве теорем разрешается пользоваться основными свойствами простейших фигур, т.е. аксиомами, а также свойствами уже доказанными, т.е. доказанными теоремами. Никакими другими свойствами фигур, даже если они нам кажутся очевидными, пользоваться нельзя» .

К концу первой главы введены все основные аксиомы Евклидовой геометрии, описаны все теоретические понятия, которые используются в геометрии, и приведены соответствующие примеры.

А. В. Погорелов не говорит и не дает представления о возможности разных интерпретаций свойств в разных теориях. Введя аксиомы таким способом, А. В. Погорелов сразу говорит о свойствах фигур. Аксиома, заданная как свойство, уже не может быть интерпретирована в другой теории, уже невозможно провести соответствие с реальным миром.

А. В. Погорелов не дает возможность интерпретации аксиом как свойств простейших фигур, в следствии чего возникает убеждение, что аксиомы прямо соответствуют свойствам.

После сравнения аксиом, введенных А. В. Погореловым, с аксиомами евклидовой геометрии рассмотрим несколько примеров введения понятий.

Предварительно стоит уточнить, что одним из основных правил составления А. В. Погореловым учебника, является правило использование уже известных и доказанных ранее фактов. Листая учебник можно уточнить это правило. «Используемые понятия должны быть введены «недавно, рядом», лучше, если в этой же главе.

Рассмотрим примеры введения понятий в учебнике А. В. Погорелова с точки зрения аксиоматического подхода и нашего уточнения.

1. Параграф 4 главы 1 «Планиметрия» называется «Сумма углов треугольника». Первое, что мы видим в этой главе «признаки параллельности прямых». У школьников и у студентов, критикующих учебник часто возникает вопрос: «Причем здесь признаки параллельности прямых?».

В поисках ответа на этот вопрос листаем дальше. Следующий пункт этой главы «Сумма углов треугольника». Вот и ответ.

Для доказательства теоремы о том, что сумма углов треугольника равна 180, нужны знания о параллельных прямых и сумме внутренних накрест лежащих углов, которые вводятся в пункте «признаки параллельности прямых».

А. В. Погорелов решил проблему «недостающих знаний», введя их непосредственно перед необходимостью использовать.

Разобрав структуры с точки зрения аксиоматического подхода становиться заметной необходимость такого строения. Ученик не может восстановить замыслы автора, поэтому для него подобные вставки остаются безосновательными. На наш взгляд, такое построение учебника приводит к тому, что у ученика к концу школы складывается четкое непонимание геометрии.

2. Такое же построение учебного материала отмечено и в параграфе 5 этой же 1 главы. Параграф называется «Геометрическое построение». В пунктах 26 –33 действительно производиться построение, а вот пункт 24 (опять же первый в параграфе) «Окружность».

Какое отношение имеет понятие окружность к параграфу про построение? Самое прямое. Все построения, так или иначе, связаны с понятием окружности, а оно еще не было введено, следовательно, с точки зрения из аксиоматического подхода, пользоваться им нельзя. Конечно нельзя, но ввести то можно. Теперь, когда введено понятие окружности, объяснения построений становиться возможным.

Другое о образовании:

Развитие мотивационно-потребностной сферы дошкольников
Мотивационно-потребностная сфера дошкольников изменяется с возрастом. Если на ранних этапах дизонтогенеза преобладают биологические потребности, то на более поздних этапах начинают доминировать социальные и идеальные потребности. Ряд авторов (А.В. Петровский, В.А. Петровский) указывают на существов ...

Экологическое сознание как область междисциплинарных исследований
Начало ХХI века четко обозначило тенденцию, в связи с которой стало ясно, что изменения в природной среде имеют не только биосферное значение, но и приобретают огромную социальную значимость. Современная экологическая ситуация стала формой проявления двух стихий, пересечением социальных и естествен ...

Диагностика уровней сформированности вежливости детей старшего дошкольного возраста
В данном параграфе нами описаны ход и результаты констатирующего эксперимента, целью которого являлось определение уровня сформированности вежливости у детей старшего дошкольного возраста. Эксперимент проводился с 01 октября 2011 г. по 31 декабря 2011 г На первом этапе был проведен I констатирующий ...