Будем считать, что струна обладает постоянной линейной плотностью r и растянута силой натяжения P. Направление оси x выберем вдоль положения равновесия струны, через y обозначим поперечное отклонение в точке x в момент времени t. Предполагается, что угол наклона ¶y/¶x кривой, образованный струной в любой момент времени t, настолько мал, что изменением натяжения можно пренебречь. При этих условиях уравнением движения элемента dx будет
rdx ¶2y/¶t2 =dPsin(j) (5.1)
где j - угол наклона касательной относительно оси x. Действительно, правая часть представляет собой разность проекций в направлении y натяжения на обоих концах элемента. На основании только что сделанного предположения можно положить
sinj < tg j = ¶y/¶ x (5.1')
так что уравнение (1) можно переписать
¶2y/¶t2=V2 ¶2y/¶t2 (5.2)
где V2=P/r, где V – скорость. Кинетическая энергия любого участка струны выражается интегралом
T=1/2 ròy'2dx (5.3)
взятым в соответствующих пределах. Потенциальную энергию можно вычислить двумя способами: 1) можно представить, что струна перемещается из состояния покоя в положении равновесия, в состояние покоя в любом другом заданном положении при помощи приложенных к ней поперечных сил. Для простоты предполагаем, что на любой стадии этого процесса все ординаты находятся в постоянном отношении (K) к своему конечному значению y, так что последовательные формы струны отличаются только по амплитудам силы, которая должна быть приложена к элементу dx, для того чтобы уравновесить натяжение на его концах, есть
-¶/¶x (Psinj)dx
синусу j следует положение равное K¶y/¶x при увеличении K на dx приращение смещения равно ydK. Полная работа, выполненная над этим элементом, поэтому будет равна:
-Pyy" dx 0ò1 Kdk= -1/2 Pyy"dx (5.4)
а потенциальная энергия
f=-1/2 P òyy" dx (5.5)
Пользуясь вторым методом, мы вычислим работу, произведённую при растяжении струны против натяжения P. Увеличение длины элемента dx приблизительно равно
Ö1+y'2 dx - dx=1/2 y'2dx (5.6)
так что
f=1/2 P'òy'2dx (5.7)
Эти выражения дают одинаковые результаты, когда интегрирование выполнено по всей возможной длине струны. Действительно при интегрировании по частям получим:
-òyy''dx= -[yy']+òy'2dx (5.8)
Первый член справа относится к значениям на пределах интегрирования струны. Он исчезает на концах возможного участка, т.к. здесь y равно нулю.
Другое о образовании:
Традиции коллектива
На всех стадиях развития коллектива возникают, крепнут и сплачивают коллектив большие и малые традиции. Традиции – это такие устойчивые формы коллективной жизни, которые эмоционально воплощают нормы, обычаи, желания воспитанников. Традиции помогают вырабатывать общие нормы поведения, развивают колл ...
Интеграционные процессы в развитии системы высшего образования в Узбекистане
Социально–политические преобразования в Узбекистане отражают объективную потребность в анализе и поиске путей разработки современных подходов в обучении и воспитании молодежи в целях обеспечения прогресса страны, укрепления ее авторитета в мире и роли в Центрально–Азиатском регионе. Вместе с тем не ...
Содержание работы по развитию предпосылок учебной деятельности у детей
подготовительной к школе группе
Исходя из полученных данных констатирующего этапа эксперимента, мы определили цель формирующего эксперимента: реализовать содержание работы по развитию предпосылок учебной деятельности у детей старшего дошкольного возраста. На формирующем этапе эксперимента для реализации поставленной цели нами был ...