Физика колебаний. Свободные колебания

½aq¢²+f=const (3.6)

при условии, что система свободна от действия внешних сил. Значение const, количественно, определяется начальными условиями. Если продифференцировать это уравнение по t и почленно поделить на q¢ то получим

aq¢¢+½(da/dq)q¢²+df/dq=0 (3.7)

Это выражение можно рассматривать как уравнение свободного движения системы, из которого исключены неизвестные реакции между её частями. Для случая малых колебаний уравнение сильно упрощается. Для существования положения равновесия уравнение должно удовлетворяться при q=const.Это требует выполнения

df/dq=0 (3.8)

значит, равновесная конфигурация характеризуется тем, что при малых отклонениях от положения равновесия потенциальная энергия «стационарна». Прибавляя или отнимая некоторую константу, можно выбирать q т.о., чтобы оно обращалась в ноль при рассматриваемой нами равновесной конфигурации; тогда, разлагая в степенной ряд по малой величине q, имеем

f=const+½cq²+… (3.9)

Ввиду стационарности f в положении равновесия, в разложении отсутствует член с первой степенью q. Const=C>0, если равновесная конфигурация устойчива, и f имеет минимум. Её можно назвать «коэффициентом устойчивости». Подставив в (3.7) уравнение (3.9) и опустив члены второго порядка относительно q и q′ получим :

aq¢¢+Cq=0 (3.10)

где a теперь можно считать постоянной величиной, имеющей значение, соответствующее конфигурации равновесия.

C/a=w² (3.10')

и следовательно

q=Ccos((wt+j) (3.11)

_т.е. гармоническая функция и

n=1/2pÖC/a (3.11¢)

Далее, поскольку смещение от положения равновесия любой части системы при её движении по своей траектории пропорционально q (в приведённых выше обозначениях оно равно aq), мы видим, что каждая частица совершает гармонические колебания с указанной частотой и отдельные частицы движутся синхронно, одновременно проходя через средние положения. Кроме того, амплитуды колебаний разных частиц находятся в постоянном отношении друг к другу; произвольны только абсолютная величина амплитуды и фаза колебания; они зависят от заданных начальных условий. Кинетическая и потенциальная энергии будут соответственно равны:

T=½aq¢²=½n²aC²sin²(wt+j) (3.12)

f=½cq²=½cC²cos²(wt+j) (3.13)

а их сумма

T+f=½w²aC²+½cC² (3.14)

Средние значения sin²(wt+j)=cos²(wt+j)=½, поэтому энергия системы в среднем является наполовину кинетической и наполовину потенциальной. Для приложения теории к частным случаям требуется только вычислить коэффициенты a и c, причём (в задачах механики) вычисление последнего обычно более сложно. В случае тела, подвешенного на проволоке и совершающего крутильные колебания вокруг оси проволоки, a-момент инерции относительно этой оси, а c-коэффициент крутильного момента, т.е. cq-это крутильный момент, возникающий при повороте тела на угол q.

Если в задаче о массе, подвешенной на пружине предположить, что вертикальное перемещение любой точки пружины пропорционально расстоянию z от точки подвеса при отсутствии растяжения, то кинетическая энергия определяется следующим выражением:

2T=Mq¢²+0òl(z/l)²q¢²rdz=(M+1/3rl)q¢² (3.15)

где r - линейная плотность, l - длина пружины в нерастянутом состоянии и q смещение груза.

Другое о образовании:

Психолого-педагогические особенности детей с ограниченными возможностями
Согласно Федеральному закону РФ «О социальной защите инвалидов в РФ» от 24 ноября 1995г.№181 «Инвалид – лицо, которое имеет нарушение со стойким расстройством функций организма, обусловленное заболеванием, последствием травм или дефектами, приводящее к ограничению жизнедеятельности и вызывающее нео ...

Методические разработки по теме: "Аммиак. Соли аммония"
Урок разработан в форме исследования с целью получения новых знаний с использованием проблемного и дифференцированного подхода. Форма урока выбрана не случайно. Проблема использования аммиака и солей аммония, их свойств достаточно сложна, но посильна для девятиклассников. Учитель направляет с помощ ...

Определение и назначение системы дополнительного образования
По мнению многих теоретиков и практиков, формализованное базовое образование все больше нуждается в дополнительном неформальном образовании, которое было и остается одним из определяющих факторов развития склонностей, способностей и интересов человека, его социального и профессионального самоопреде ...